Abstract
In unserer dreiteiligen Artikelserie betrachten wir die Verwendung von szenarioabhängigen Expected Cashflows (ECF) im Risikomanagement und in der Banksteuerung zusammen mit den regulatorischen Rahmenbedingungen.
Im ersten Teil1 lag der Schwerpunkt auf einer modernen Weiterentwicklung des Ansatzes der Modellierung erwarteter Cashflows für verhaltensabhängige Optionen in Richtung einer szenarioabhängigen Modellierung.
In Teil zwei2 stand die Modellierung automatischer Optionen mittels szenarioabhängiger Expected Cashflows im Fokus. Der methodische Ansatz beschreibt eine Art Second-Best-Lösung, die unseres Erachtens insbesondere für kleinere und mittlere Institute eine Alternative zu einer aufwendigeren Lösung mit vollständiger Optionsbewertung ist.
In diesem dritten Teil prüfen wir, aufbauend auf den Ergebnissen der ersten beiden Teile, mittels eines komplexeren, aber realitätsnäheren Fallbeispiels die Güte und Praktikabilität der Second-Best-Lösung für automatische Optionen.
Für die Optionen des Beispielportfolios leiten wir mit einem einfachen und gut nachvollziehbaren Algorithmus szenarioabhängige Expected Cashflows ab und vergleichen dann die Simulationsergebnisse der ECF-Approximation mit den Ergebnissen bei Verwendung eines Optionspreismodells. Dieser Vergleich zeigt für das realitätsnahe Fallbeispiel die Vorteile und Grenzen des ECF- Ansatzes auf.
Hintergrund
Die bisherigen beiden Teile der Artikelserie haben verschiedene Aspekte untersucht, die bei der Abbildung von Optionsrechten zu beachten sind. Im Folgenden sind die wesentlichen Erkenntnisse kurz zusammengefasst, da sie als Grundlage für diesen dritten Teil dienen.
Skizze einer Second-Best-Lösung für das Optionsportfolio
Die Modellierung des Portfolios „O“ mit szenarioabhängigen ECF stellt eine Alternative zur Verwendung von Optionspreismodellen dar.
Dies unter der Annahme, dass ein Institut automatische explizite oder implizite Optionen nicht in einem so großen Umfang oder mit einer so außergewöhnlichen Komplexität im Zinsbuch hält, dass eine Verwendung der exakteren Optionspreismodelle allein schon aus Gründen der Proportionalität erforderlich wäre. Die Verwendung von szenarioabhängigen Cashflows zur Abbildung automatischer Optionen sollte für LSI3 in der Regel zulässig sein.
Im Kern zeichnet die alternative Lösung aus, dass sich der optionale Charakter der automatischen Optionen über eine möglichst gute Approximation mit szenarioabhängigen ECF näherungsweise und vereinfacht abbilden lässt – im positiven Sinne eine Second-Best-Lösung.
Realitätsnahes Fallbeispiel
Im ersten Teil der Artikelserie haben die Autoren ein vereinfachtes Praxisbeispiel verwendet, um die Modellierung verhaltensabhängiger Optionen mit szenarioabhängigen ECF darzustellen. Als typische verhaltensabhängige Optionen haben sie die Sondertilgungsrechte von Wohnungsbaudarlehen und die gesetzlichen Sondertilgungsrechte gemäß § 500 BGB von Allzweckdarlehen gewählt.
Der zweite Teil der Artikelserie hat sich mit der Modellierung von automatischen Optionen mithilfe von ECF befasst. Dabei bestand das Beispiel-Zinsbuch aus einem einfachen Gleitzins-CF (gleitend zehn Jahre). Zusätzlich enthielt es eine Swaption „Option auf einen Payer-Swap“.
Im vorliegenden dritten Teil gestalten die Autoren das gewählte Beispiel etwas komplexer und das Optionsportfolio differenzierter, um mit diesem realitätsnahen Fall die Ableitung der ECF-Funktion und die Güte der Simulationsergebnisse zu prüfen.
Der Fokus liegt nun auf langfristigen Wohnungsbaudarlehen mit einer Laufzeit von 15 Jahren und auf der Abbildung ihrer §-489-BGB-Optionen.4 Diese Darlehen sind ein Schwerpunktprodukt vieler Retail-Institute. Die Modellierung der darin enthaltenen Optionsrechte hat in der Praxis eine große Bedeutung. Zudem werden sie häufig automatisch ausgeübt.
Die Analyse der tatsächlichen Bestände von Beispielinstituten zeigt, dass Kredite mit §-489-BGB-Optionen (Langläufer, größer 10,5 Jahre) in den vergangenen Jahren kontinuierlich zugenommen haben. Aufgrund der deutlichen Verteuerung langfristiger Wohnungsbaudarlehen im aktuellen Marktumfeld wurde vermutlich ein vorläufiger Höhepunkt erreicht.
Die Autoren haben für ihr Beispiel ein durchschnittliches Kreditportfolio herangezogen und gehen von einem nahezu linear ansteigenden Volumen über die letzten zehn Jahre aus, wobei zum Kalkulationsdatum, dem 31.03.2022, das Volumen maximal ist.
Durch die rechtliche Konstruktion des Optionsrechts steigt das relevante Optionsvolumen, ausgehend vom Kalkulationsdatum, in der Zukunft zunächst mit jedem Jahr an und nimmt wieder ab, wenn die ersten Optionsrechte verfallen.
Da Darlehen mit 15-jähriger Laufzeit betrachtet werden, ergeben sich Kombinationen aus Vorlaufzeit und Optionslaufzeit zwischen null Jahren Vorlaufzeit und 4,5 Jahren Optionslaufzeit (für ein Darlehen, das bereits seit 10,5 Jahren läuft) und 10,5 Jahren Vorlaufzeit und 4,5 Jahren Optionslaufzeit (für ein Darlehen, das zum Kalkulationsdatum abgeschlossen wurde).
Die Clusterung der Volumina erfolgt im Beispiel auf jährlicher Ebene, also ergeben sich insgesamt zehn Tranchen.5 Als Kundenzins der Darlehen (und damit relevanter Zins für die Ausübung der jeweiligen Swaption) wurde ein zum jeweiligen Abschlusszeitpunkt geltender Marktzins aus den Zeitreihen der Bundesbank herangezogen.6
Einfache ECF-Funktion
Damit der Ansatz der ECF-Modellierung automatischer Optionen praktisch angewendet werden kann, ist die Verwendung einer möglichst einfachen und verständlichen ECF-Funktion von entscheidender Bedeutung. Diese ECF-Funktion muss von dem simulierten Zinsszenario abhängig sein, um ausreichend risikosensitiv zu sein. Sie sollte aber nicht von der Zinsvolatilität abhängig sein, um in der Praxis einen hinreichenden Vorteil gegenüber einem Optionspreismodell zu bieten.
Einer Swaption liegt ein Zinsswap zugrunde. Ist die Swaption bei Fälligkeit7 der Option im Geld, so ergibt sich aus ihrer Ausübung der Zinsänderungsrisiko- Cashflow des Swaps, der dem CF der festen Seite entspricht.8 Andernfalls verfällt sie wertlos, es ergibt sich also ein 0-CF.
Es liegt nahe, die Forward-Zinsen zu verwenden, die sich aus der zum Kalkulationsdatum aktuellen Zinskurve ohne und mit Anwendung von Zinsszenarien ergeben. Ein Vergleich des Zinssatzes der Swaption mit dem entsprechenden Forward-Zinssatz führt zu der einfachen Regel für die verwendete ECF-Funktion:
Wenn der entsprechende Forward-Zinssatz kleiner ist als der Underlying-Swap-Zinssatz, dann verwende den CF der festen Swap-Seite, andernfalls den 0-CF.9
Der szenarioabhängige ECF ergibt sich, indem man die Regel auf jede einzelne Option anwendet und anschließend die erhaltenen CF aggregiert.
Damit ergibt sich der ECF bei einer Simulation zum 31.03.2022 ohne Zinsszenario als Summe aus allen CF der festen Swap-Seiten (Abbildung 6). Im Beispielfall wäre dieser ECF für Szenarien fallender Zinsen identisch, weil alle Optionen im Geld bleiben.
Vergleich der Simulationsergebnisse
Die Güte der vorgestellten ECF-Approximation lässt sich überprüfen, indem man die Ergebnisse für szenarioabhängige ECF mit den Ergebnissen bei Verwendung eines Optionspreismodells vergleicht.
Für die Szenarien fallender Zinsen ändert sich der ECF im Beispiel nicht, alle Optionen bleiben im Geld. Der Zeitwerteffekt wird sogar geringer, sodass auch hier die ECF-Alternative sehr nah an der Abbildung mit Optionsbuch liegt.
Die Situation bei steigenden Zinsen ist exemplarisch für das Szenario +200 BP dargestellt. Unter diesem Szenario sind nur noch die beiden ersten Swaptions mit kurzen Restlaufzeiten im Geld, alle anderen aus dem Geld. Hieraus resultierend ändert sich der szenarioabhängige ECF, wie im vorigen Kapitel beschrieben.
Das Optionsbuch beziehungsweise der ECF reduzieren den Gesamtverlust der Zinsbuchs bei steigenden Zinsen: Die ausgereichten Optionen verlieren aus Kundensicht an Wert.
Wieder trifft die Simulation mit szenarioabhängigem ECF sehr gut das Ergebnis bei Verwendung eines Optionsbuchs. Der relative Wertverlust durch den abrupten Zinsanstieg beträgt bei Berechnung mit ECF 17,01 % gegenüber 16,95 % bei Berechnung mit Swaptions unter Berücksichtigung der Volatilität. Auch hier lässt sich die Differenz durch die Veränderung des Zeitwerts erklären.
Wertung
Die Ergebnisse dieses abschließenden dritten Teils der Artikelserie bestätigen mit einem realitätsnahen, relativ komplexen Beispiel die Ergebnisse der sehr einfachen Beispielrechnung aus dem zweiten Teil.
Zusätzlich zeigt sich, dass die vorgestellte einfache und gut nachvollziehbare ECF-Funktion das Ableiten der szenarioabhängigen Expected Cashflows mit hinreichender Güte ermöglicht.
Der vorgestellte Ansatz ist deshalb nach Auffassung der Autoren gut geeignet, um das wertorientierte Zinsänderungsrisiko für typische LSI zu messen und die einschlägigen regulatorischen IRRBB-Anforderungen zu erfüllen. Nicht geeignet ist er für eine Preisermittlung von Optionen und er kommt an seine Grenzen, wenn der Wert des Optionsbuchs stark vom Zeitwerteffekt abhängt, denn dieser wird bewusst bei der vorgestellten Modellierung der ECF ausgeblendet.
Für die Abbildung der üblichen impliziten Optionen im Zinsbuch ist der Ansatz nach Erachten der Autoren gut geeignet. Das gilt ebenso für die in der Zinsbuchsteuerung üblicherweise eingesetzten expliziten Optionen, also Swaptions, Floors und Caps. Deshalb lassen sich szenarioabhängige ECF auch verwenden, wenn in der Zinsbuchsteuerung Maßnahmen vorab simuliert werden, um ihre Sicherungswirkung zu beurteilen.
Die vorgestellte einfache ECF-Funktion lässt sich in modernen Softwarelösungen so effizient implementieren, dass auch eine VaR-Berechnung mit Tausenden simulierten Szenarien in der Lage ist, je Szenario den passenden ECF zu generieren, und nicht mit einem vereinfachten Mapping auf vorberechnete Szenarien arbeiten muss.
Wie jedes im Risikomanagement eingesetzte Modell erfordert auch die ECF-Modellierung eine sorgfältige Umsetzung mit Dokumentation und regelmäßiger Validierung ihrer Parameter.
Die Lösung mit szenarioabhängigen ECF ermöglicht es Instituten, automatische Optionen hinreichend risikosensitiv im Zinsbuch abzubilden, ohne dass sie ein separates Optionsbuch mit Optionspreismodellen bewerten müssen. Sie ist damit weniger komplex und kommt insbesondere ohne die Verwendung von Zinsvolatilitäten aus.
Zusätzlich erlaubt die Modellierung mit szenarioabhängigen ECF eine konsistente Betrachtung der beiden Teilportfolios verhaltensabhängiger und automatischer Optionen. Beispielsweise können Sondertilgungs- und Kündigungsoptionen für Wohnbaudarlehen von Privatkunden verhaltensabhängig und von gewerblichen Kunden automatisch ausgeübt werden. In solchen Fällen erhöht eine Modellierung beider Teilportfolios mit ECF die Konsistenz erheblich.